Indução Matemática
17 de Agosto de 2007 às 14:19 Thiago | Enviar por e-mail Hits para esta publicação: 2494
Incrível, mas só agora acho que realmente entendi porque indução matemática funciona. Sei usar, já usei muito, já até dei aula na UFMG sobre o assunto, mas só agora entendi de verdade. É incrível como às vezes não percebemos algumas coisas tão simples.
Dada uma propriedade P, se P(1) é verdade e prova-se que é verdade que P(n) -> P(n+1), para um número natural qualquer (maior que 1), então P(n) é verdade.
Pensando de forma recursiva, o P(1) é nosso ponto de partida. Se provamos que é verdade que se P(n) então P(n+1), podemos combinar nossas afirmativas e dizer que P(1) -> P(2), logo P(2) é verdade. Continuando recursivamente, chegamos à conclusão que P(3), P(4) … P(n) é verdade.
Simples, né?
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17 Comentários Faça seu próprio
1. Clóvis | 5 de Outubro de 2007 às 01:32
Prove por indução matemática:
2 elevado a n é menor que n fatorial, para todo n maior ou igual a 4
2. Thiago | 5 de Outubro de 2007 às 08:52
Não vou fazer seu dever de casa, rapaz!
E essa é fácil!
3. vilmondes | 9 de Março de 2008 às 12:55
tudo isso pra dizer q deu aula na UFMG? …
4. Thiago | 14 de Março de 2008 às 17:56
Isso foi só para reforçar o fato de que mesmo conhecendo um determinado assunto ainda podemos ter a surpresa de vê-lo sob outra perspectiva.
E todo mundo que faz pós-graduação strictu sensu na UFMG é obrigado a dar aulas por lá. Nada demais.
5. joab | 6 de Junho de 2008 às 19:44
como posso aprender mais se entendo pouco os problemas de indução?não consigo passar de (n+1)?
6. Thiago | 22 de Julho de 2008 às 13:10
Dê uma olhada em http://pt.wikipedia.org/wiki/Indu%C3%A7%C3%A3o_matem%C3%A1tica
Não entendi sua dúvida.
7. Thiago | 22 de Julho de 2008 às 13:15
2 elevado a n é menor que n fatorial, para todo n maior ou igual a 4
Base: 2 a 4 = 16 é menor que 4! = 24
Hipótese indutiva: 2 a n é menor que n!
Passo indutivo:
2 a (n +1) é menor que (n + 1)! ???
2 a (n + 1) = 2 vezes 2 a n
(n + 1)! = (n + 1) vezes n!
Então temos o seguinte:
2 vezes 2 a n ??? (n + 1) n!
Eu sei que 2 a n é menor que n!, logo basta provar que
2 <= n + 1
Mas como assumimos que n é maior ou igual a 4, esta afirmação é verdade.
Está provado.
8. Geraldo Santos | 27 de Setembro de 2008 às 12:19
Como provo por indução os seguintes casos:
f(X1X2…Xn) = f(X1) + f(X2) + … + f(Xn)
e
| X1 + X2 + … + Xn |
9. Geraldo Santos | 27 de Setembro de 2008 às 12:20
| X1 + X2 + … + Xn |
10. Thiago | 28 de Outubro de 2008 às 16:50
Geraldo, esse enunciado está incompleto ou errado. Do jeito descrito não faz sentido.
11. Rodrigo | 5 de Novembro de 2008 às 11:04
Adicionando k + 1 a ambos os lados, a igualdade se mantém, então: (1)
1 + 2 + … + k + (k + 1) =k(k + 1) /2 + (k+ 1)
Por manipulação algébrica, temos: (2)
k(k+1)/2 + 2(k+1)/2 = (k+2)(k+1)/2
não entendo a parte (2)
da onde vem esse 2(k+1)
12. Rodrigo | 6 de Novembro de 2008 às 20:56
Thiago, tu pode me ajudar com um exercício?
Mostre que 12 + 22 + · · · + n2 = n(n + 1)(2n + 1)/6 para qualquer n inteiro positivo.
provar isso por indução
demonstrar p/ n=1
supor p/ n=k
provar n=k+1
cheguei em
(2k³ + 9k² + 13k + 6)/6
é isso?
13. Rodrigo | 6 de Novembro de 2008 às 21:00
1² + 2² + …. + n² = n(n+1)(2n +1)/6 **
14. Rodrigo | 8 de Novembro de 2008 às 02:22
eu fiz assim
1² + 2² + .. + n² = n ( n+1) (2n+1) / 6
(I) mostrar p/ n=1
1²=(1(1+1) . ((2.1)+1)) / 6
1 = 2 . 3 / 6 =1
1=1
(II) supor p/ n=k
1² + 2² + .. + k² = (k (k+1) (2k +1)) / 6
(III) provar p/ n=k+1
1² + 2² + .. + k² + (k+1)² = (1² + 2² + .. + k²) + (k+1)
= k(k+1)(2k+1) + (k+1)²
………….6
= (k²+k)(2k+1)+6(k²+2k+1)
……………….6
= 2k³ + k² + 2k² + k + 6k² + 12k + 6
………………………….6
= 2k³ + 9k² + 13k + 6
……………….6
certo? :~~
15. João | 26 de Novembro de 2008 às 11:36
[u]12!
[/u]10!+9!
????
alguem poderia me ajudar??
16. João | 26 de Novembro de 2008 às 11:37
12!/10!+9!
o primeiro ta erradoo!!
é esse akie!!
17. Thiago | 2 de Dezembro de 2008 às 16:08
Rodrigo, (k+ 1) é igual a 2(k + 1)/2.
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